Propriétés physiques des aérosols

Théorie cinétique des gaz

Les particules d’un aérosols sont en suspension dans un gaz. Certaines de ces particules présentent de très faibles dimensions si bien qu’à cause des chocs avec les molécules elles sont à leur tour soumises au mouvement brownien. Sous certaines conditions, on peut donc leur appliquer la théorie cinétiques des gazs.

Milieu ne comportant qu’une seule sorte de molécules

Trois hypothèses sont admises :

• Les molécules sont toutes identiques, sphériques et de volume $v_0$ très faible par rapport au volume total $v$ de leur ensemble ;
• Leur répartition obéit aux lois du hasard et leur nombre reste constant dans un volume donné ;
• Les mouvements des molécules sont rectilignes uniformes et leurs chocs sont élastiques.

Dans ces condition, on peut considérer un ensemble de molécules en équilibre hermique. Parmis ces molécules un certain nombre n possédant un excès (ou un défaut) d’énergie par rapport à l’ énergie moyenne d’activation thermique . Les molécules d’un gaz ont des vitesses réparties uniformément dans tous les sens, dont les grandeurs sont elles-mêmes distribuées suivant une loi de probabilité appelée loi de Maxwell-Boltzmann . Cette loi représente la probabilité pour une molécule ait son point de vitesse dans le volume élémentaire $d\tau = du \cdot dv \cdot dw$.

A partir de ces considération, il devient possible de déterminer le nombre de molécules $dn$ ont la vitesse est comprise entre $V$ et $V+dV$.

$$ dn= \frac{n}{2\sqrt{\pi}} \left( \frac{2m}{K_{\text{B}} T} \right)^{3/2} V^2 \exp\left( \frac{m V^2}{2 K_{\text{B}} T} \right) dV $$

Où $K_{\text{B}}=1,38064852×10^{-23}$ $[m^2.kg.s^{-2}.K^{-1}]$ est la constante de Boltzmann, $m$ la masse de la molécule et $T$ la température du gaz.

On distingue trois vitesses statistiques :

• la vitesse moyenne $\bar{V} = \sqrt{\frac{8K_{\text{B}}T}{\pi m}}$,
• la vitesse quadratique moyenne $V_{\text{q}}=\sqrt{\frac{3K_{\text{B}}T}{ m}}$,
• la vitesse la plus probable $V_{\text{p}}=\sqrt{\frac{2K_{\text{B}}T}{m}}$,
• telles que $V_{\text{p}} < \bar{V} < V_{\text{q}}$.

On peut alors définir le flux de particules $\varphi=n\frac{\bar{V}}{4}$ comme le nombre de particules traversant une surface unitaire pendant une unité de temps.

Pour finir, au cours de chaque collision, après rebond, la vitesse d’une molécule change de irection et de grandeur. La trajectoire d’une molécule est donc une ligne brisée dont les ifférentes portion rectilignes ont des longueurs et directions différentes. La longueur d’un segment est le libre parcours de la molécule entre deux chocs. La moyenne arithmétique de ces libres parcours est appelée libre parcours moyen $\lambda_{\text{m}}$ tel que :

$$ \lambda_{\text{m}}=\frac{1}{m \pi \sigma^2 \sqrt{2}} $$

$\sigma$ étant le diamètre de la molécule. Le libre parcours moyen est donc inversement proportionnel à la concentration.

Milieu constitué par deux sortes de molécules (ou particules)

Dans la suite, on considère un milieu plus proche des conditions réelles dans lequel sont présentes deux sortes de molécules ou particules $A$ et $B$.

Les hypothèses restent identiques au cas précédent. On suppose en plus que les deux constituants sont en équilibre, si bien que les distributions des vitesses pour chacun d’entre eux sont maxwelliennes.

Dans ce cas [Bricard 1977]¹ propose deux nouvelles expressions pour le arcours libre moyen de chaque constituant du mélange que nous n’expliciterons pas ici.

Lorsqu’on considère un aérosol $B$ en suspension dans un gaz constitué de molécule $A$, les concentrations en molécules $n_A$ et en particules $n_B$ varient d’un point à l’autre. Bien que le milieu considéré soit à l’équilibre thermique et en pression, on observe un hénomène transport des particules des régions riches en particules vers les régions pauvres de telle sorte la concentration tende à devenir uniforme dans le volume gazeux. Ce phénomène, causé par l’agitation thermique des composants de l’aérosol, est dénommé diffusion.

Le phénomène de diffusion (brownienne) est modélisé classiquement à l’aide des deux lois de Fick . La première loi exprime le flux $\varphi$ de particules se déplaçant des zones de fortes concentration vers les zones de faibles concentrations tandis que la seconde loi fait intervenir le temps. $$ \varphi=-D \frac{\text{d}n}{\text{d}z} $$

$$ \frac{\text{d}n}{\text{d}t}=-D \left(\frac{\partial^2 n}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 n}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 n}{\partial z^2}\right)dt $$

La seconde loi peut être modifiée pour tenir compte des efforts extérieurs communicant une vitesse $V$ à la particule. On aboutit alors à la relation d’Einstein-Fokker . On utilisera cette dernière approche pour tenir compte des effets des écoulements turbulents sur les particules (diffusion turbulente).

Afin de marquer les limites entre la diffusion et la convection, on définit un nombre sans dimension : le nombre de Péclet.

$$ Pe = \frac{\bar{u} L}{D} $$

On distinguera :

• La diffusion mutuelle : diffusion de l’ensemble gaz-aérosol $(A+B)$ en suspension.
• La diffusion de l’espèce $A$ dans l’espèce $B$.

Le comportement des particules du mode nucléation est gouverné par la diffusion Brownienne. Celui des particules du mode accumulation est piloté par la diffusion turbulente.

Sédimentation des aérosols

La sédimentation correspond aux mouvements des particules sous l’action de la pesanteur.

Les particules des aérosols sont soumises à un certain nombre d’efforts extérieurs (gravité, forces électriques, efforts aérodynamiques…). En fonction des bilans agissant sur une particules, le milieu support de l’aérosol et de ses particules peut ne plus suffire à compenser l’action de la pesanteur. La particule va alors se déposer sur un support à une vitesse de chute que l’on nommera vitesse de sédimentation.

Compte tenu des très importantes variations que présentent les dimensions linéaires et les vitesses des aérosols, le milieu support peut être interprété comme un fluide continu ou n milieu corpusculaire compressible ou incompressible. Plusieurs théories ont été développées en fonction des déplacements des aérosols pour déterminer leur vitesse de sédimentation.

Les différentes théories liées aux déplacements des aérosols [André Renoux 1998]² :

Avec :

• $r_{\text{p}}$ : rayon de la particule de l’aérosol.
• $\lambda_{\text{g}}$ : libre parcours moyen des molécules du gaz porteur.
• $\textrm{Re}$ : le nombre de Reynolds de la particule : $\textrm{Re}_p=\frac{2 r_{\text{p}} \rho_{\text{g}} V}{\eta}$.
• $\eta$ : la viscosité dynamique du gaz porteur de masse spécifique $\rho_{\text{g}}$.
• $V$ : la vitesse de la particule de masse spécifique $\rho_{\text{p}}$.
• $\bar{u}$ : la vitesse moyenne des molécules du gaz porteur.
• $c$ : la célérité du son dans le gaz.
• $\frac{V}{c}$ : le nombre de Mach.

Loi de Stokes

À bas nombre de Reynolds ($\textrm{Re}_{\text{p}} \ll 1$), la vitesse de chute gravitaire d’une particule de diamètre $d_{\text{p}}$ dans l’air est donnée par l’équilibre entre la traînée selon la loi de Stokes et par la gravité.

La force de traînée $F_{\text{d}}$ vaut :

$$ F_{\text{d}} = 3 \pi \nu d_{\text{p}} V $$

La chute de la particule dépend de sa poussée d’Archimède $F_{\text{g}}$ vaut :

$$ F_{\text{g}} = g \frac{\pi d^3_{\text{p}} \rho_{\text{f}}}{6} $$

La vitesse de déposition de la particule est alors calculée à partir du bilan des actions agissant sur la particule :

$$ v_{\text{d}}= \frac{d^2_{\text{p}} g \left(\rho_{\text{p}} - \rho_{\text{f}}\right)}{18 \mu} $$

Correction liée à la vitesse - Coefficient de trainée $C_{\text{d}}$

En régime turbulent, lorsque le nombre de Reynolds augmente, l’expression de la force de trainée devient $$ F_{\text{d}} =C_{\text{d}} \frac{1}{2} A \rho_{\text{f}} v^2_d $$

Où $C_{\text{d}}$ est un coefficient de correction nommé coefficient de trainée . Il vient alors :

$$ v_{\text{d}}= C_{\text{d}} \frac{d^2_{\text{p}} g \left(\rho_{\text{p}} - \rho_{\text{f}}\right)}{18 \mu} $$

Le coefficient de trainée est défini comme le ratio de la force de traînée sur la force de la particule en mouvement. Il est fonction du nombre de Reynolds.

Correction liée à la vitesse - Coefficient de Cunningham $C_{\text{c}}$

On caractérise la continuité du milieu par rapport à la particule de rayon $r_{\text{p}}$ à l’aide du nombre de Knudsen (sans dimension) $K_{\text{n}} =\frac{\lambda_{\text{g}}}{r_{\text{p}}}$.

Lorsque les particules sont de diamètre inférieur au libre parcours moyen des molécules du gaz qui les contient ($K_{\text{n}} \gg 1$), la force de traînée est inférieure à la prédiction par la loi de Stokes car les particules glissent sur les molécules, par opposition au régime continue.

On introduit alors une correction sur la force de trainée à l’aide du coefficient de Cunningham alculé à partir du nombre de Knudsen :

$$ F_{\text{d}} = \frac{3 \pi \eta d_{\text{p}}}{C_{\text{c}}} $$

Coagulation des aérosols

Lorsque deux particules entrent en collision, il est possible qu’elles coagulent et forment une nouvelle particule de taille supérieure. Ce phénomène est aussi appelé coalescence. Il est d’autant plus important que le nombre de particules en présence est important. D’une manière générale on considère qu’elle est influente à partir de $10^{10}$ particules par m³. Les particules touchées sont celles dont le diamètre est inférieur à 0,05 µm. La coagulation est un phénomène important de la physique des aérosols puisqu’elle régit de fait le comportement, l’évolution et la disparition d’un nuage particulaire.

Différents mécanismes de coagulation existent en fonction de la taille de la particule ou du milieu dans lequel elle se trouve :

• Mouvement Brownien,
• Collision lors d’un écoulement (laminaire ou turbulent),
• Sédimentation.

Autres propriétés physiques

Les aérosols sont également sujets à un certains nombres d’autres phénomènes physiques participant au mouvement des particules. On citera entre autres :

• Thermophorèse : un aérosol est repoussé par un corps chaud, si bien que les particules se déplacent vers les zones à basse température.
• Photophorèse : la présence ou l’absence de lumière induit des modifications de température qui attireront ou repousseront les particules.
• Diffusionphorèse : les particules en suspension dans un mélange gazeux inhomogènes se déplacent sous l’action des gradients de concentration.
• Remise en suspension : les particules se fixent au contact des parois par adhérence sous l’effet des forces de Van der Walls, des forces électriques et des forces de capillarité. Certaines sollicitations extérieures peuvent entrainer la remise en suspension de particules. Le phénomène est toutefois difficile à décrire compte tenu de la grande influence de l’état de la surface de déposition (rugosité, matériaux constitutifs,…)